私も同じ症状で、困ってしまっていたところ、ここにたどりつきました。
新バージョンをevernoteのサイトからダウンロードしてインストール(アプリケーションフォルダにドラッグして上書き保存)したところ、解決しました。
「サポートされていないクライアントです。更新してください」
って日本語がわかりにくく、何度もメールアドレスやアカウント名を打ち直し、アカウントがサポートされなくなってしまったのかと、
本当に肝を冷やしました。
Mac版だけだったようですが、なんで自動更新でアップデートしてくれなかったのでしょうね。。。